# 概率论

## 概率论

* 面试时如果被问了一个概率题，那就要小心了，面试官可能要刷人了！
* 面试概率题的特点：
  * 题面不复杂
  * 短时间可以解答
  * 会者不难

### RoadMap

* [概率论基础](#概率论基础) TODO
* [常见面试题](#常见面试题)

### Index

* [概率论基础](#概率论基础)
  * [古典概型](#古典概型)
  * [几何概型](#几何概型)
* [例题](#例题)
  * [例题-古典概型](#例题-古典概型)
    * [54 张牌，平均分成 6 份，...](#54-张牌平均分成-6-份)
  * [例题-几何概型](#例题-几何概型)
    * [一根棍子折成三段，求能组成 ...](#一根棍子折成三段求能组成-)

## 概率论基础

### 古典概型

* 在一个有限的集合 S 中随机抽取一个元素，求该元素属于子集 T 的概率；
* 概率 `p = 子集 T 中元素的数量 / 集合 S 中元素的数量`
* 示例：

  ```
    一枚均匀的骰子掷到 1 的概率：
        S = {1,2,3,4,5,6}; 
        T = {1}; 
        p = |T|/|S| = 1/6
    一枚均匀的骰子掷到 1 的概率：
        S = {1,2,3,4,5,6}; 
        T = {1,3,5}; 
        p = |T|/|S| = 3/6 = 1/2
  ```
* [例题-古典概型](#例题-古典概型)

### 几何概型

* 在一个集合形状 S 中随机选取一点，求该点属于子形状 T 的概率；
* 概率 `p = T 的面积 / S 的面积`
* 示例：

  ```
    在边长为 2 的正方形内随机选取一点，求该点属于其内切圆的概率：
        S = 4
        T = π
        p = T/S = π/4
  ```
* [例题-几何概型](#例题-几何概型)

## 例题

### 例题-古典概型

#### 54 张牌，平均分成 6 份，...

**问题描述**

```
54 张牌，平均分成 6 份，求大小王在一起的概率？
```

**朴素方法**

* 将 54 张牌放入 1-54 的方法数：`a = 54!`
* 每份 9 张牌，大小王在一起的方法数：`b = 6 * 9 * 8 * 52!`
  * 大小王同在一堆的概率：`9 * 8 * 52!`
  * 共 6 堆
* 概率 `p = b/a = 8/53`

**简单方法**

* 无论大王在哪个位置，此时小王与大王在一起的位置有 8 个，共 53 个位置可选
* 概率 `p = 8/53`

### 例题-几何概型

#### 一根棍子折成三段，求能组成 ...

**问题描述**

```
一根棍子折成三段，求能组成三角形的概率？
```

**思路**

* 设棍子长度为 1，断点在 `x, y`，其中 `x, y` 服从 `[0,1]` 上的均匀分布，即 `(x, y)` 为单位正方形内随机一点；
* 构成三角形的条件为每一段的长度都小于 `1/2`；
  * `x < y` 时，即 `x < 1/2 && y - x < 1/2`
  * `x > y` 时，即 `y < 1/2 && x - y < 1/2`
* 概率 `p = (1/8 * 2) / 1 = 1/4`