概率论

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概率论

面试时如果被问了一个概率题，那就要小心了，面试官可能要刷人了！
面试概率题的特点：
- 题面不复杂
- 短时间可以解答
- 会者不难

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概率论基础

古典概型

在一个有限的集合 S 中随机抽取一个元素，求该元素属于子集 T 的概率；
概率 p = 子集 T 中元素的数量 / 集合 S 中元素的数量

示例：

  一枚均匀的骰子掷到 1 的概率：
      S = {1,2,3,4,5,6}; 
      T = {1}; 
      p = |T|/|S| = 1/6
  一枚均匀的骰子掷到 1 的概率：
      S = {1,2,3,4,5,6}; 
      T = {1,3,5}; 
      p = |T|/|S| = 3/6 = 1/2

几何概型

在一个集合形状 S 中随机选取一点，求该点属于子形状 T 的概率；
概率 p = T 的面积 / S 的面积

示例：

  在边长为 2 的正方形内随机选取一点，求该点属于其内切圆的概率：
      S = 4
      T = π
      p = T/S = π/4

例题

例题-古典概型

54 张牌，平均分成 6 份，...

问题描述

54 张牌，平均分成 6 份，求大小王在一起的概率？

朴素方法

将 54 张牌放入 1-54 的方法数：a = 54!
每份 9 张牌，大小王在一起的方法数：b = 6 * 9 * 8 * 52!
- 大小王同在一堆的概率：9 * 8 * 52!
- 共 6 堆
概率 p = b/a = 8/53

简单方法

无论大王在哪个位置，此时小王与大王在一起的位置有 8 个，共 53 个位置可选
概率 p = 8/53

例题-几何概型

一根棍子折成三段，求能组成 ...

问题描述

一根棍子折成三段，求能组成三角形的概率？

思路

设棍子长度为 1，断点在 x, y，其中 x, y 服从 [0,1] 上的均匀分布，即 (x, y) 为单位正方形内随机一点；
构成三角形的条件为每一段的长度都小于 1/2；
- x < y 时，即 x < 1/2 && y - x < 1/2
- x > y 时，即 y < 1/2 && x - y < 1/2
概率 p = (1/8 * 2) / 1 = 1/4

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